Evaluation de la méthode HPDDM pour la résolution des systèmes linéaires de type « point-selle » issus des schémas CDO pour code_saturne

Depuis plus de 25 ans, le département MFEE développe le code de simulation code_saturne (logiciel open-source disponible depuis www.code-saturne.org). Ce code s’appuie sur des méthodes de discrétisation avancées pour la résolution des équations de Navier-Stokes et de ses modèles dérivés. Il est ainsi possible de modéliser les écoulements incompressibles ou dilatables, avec ou sans turbulence ou transfert de chaleur. De plus, des modules dédiés à des applicatifs d’intérêt industriel pour EDF complètent la palette des problèmes adressables à l’aide de code_saturne : magnétohydrodynamique, rayonnement, combustion, écoulements compressibles, écoulements multiphasiques (approche Euler/Lagrange) et également, écoulements souterrains en milieux poreux.

Initialement, la brique numérique à la base de la discrétisation spatiale dans code_saturne reposait exclusivement sur des schémas volumes finis co-localisés aux cellules permettant de traiter tout type de maillage, y compris des maillages polyédriques. Afin d’élargir le spectre des applications, notamment la simulation des processus de solidification/fusion ou celles d’écoulements dans les milieux poreux, une nouvelle méthode de discrétisation spatiale, appelée CDO (Compatible Discrete Operator) est en cours de développement.

Objectifs du stage
Plusieurs familles de schémas CDO sont disponibles dans code_saturne en fonction de l’applicatif. Ces schémas diffèrent par le positionnement des degrés de liberté : vertex-based, vertex+cell-based, edge-based, face-based ou cell-based. Dans certaines situations (schémas/modélisation), le système linéaire à résoudre correspond à un problème de type « point-selle ».
A titre d’exemple, ce type de système est rencontré avec un schéma cell-based reposant sur une formulation mixte d’un problème de diffusion ou avec un schéma face-based lors de la résolution des équations de Stokes ou de Navier-Stokes reposant sur un couplage fort des inconnues vitesse/pression.
Une difficulté supplémentaire est que dans le cas de Navier-Stokes, la matrice A n’est plus symétrique à cause de la présence du terme de convection. Cette non-symétrie est d’autant plus forte que le nombre de Reynolds est grand. Les techniques classiques de résolution du système linéaire basées sur des solveurs itératifs avec préconditionneurs sont en général peu robustes et inefficaces numériquement.

On propose dans ce stage de tester de manière plus approfondie les algorithmes de résolutions multi-niveaux basés sur une technique de décomposition de domaine et de résolution locale/globale. Pour cela, on s’appuiera sur la librairie HPDDM qui contient de nombreuses méthodes de résolution. Le but est d'améliorer l'efficacité de la résolution des systèmes linéaires de grande taille rencontrés dans les problèmes industriels.

Pour le bon déroulement de ce stage, il est attendu du (de la) candidat(e) de solides bases en mathématiques appliquées (algèbre linéaire et analyse numérique) ainsi qu’une bonne maîtrise du calcul scientifique (environnement Linux, programmation en C, calcul parallèle).

De plus, le (ou la) candidat(e) devra faire preuve d’initiatives, d’une bonne capacité à communiquer/rédiger et d’une bonne autonomie.